🎯यह प्रश्न क्या जाँचता है: किसी परिमित समुच्चय से स्वयं पर आच्छादक फलनों की गिनती।
जाँचने के लिए उत्तर चुनें।
उत्तर देखें
उत्तर: C. 24
सीमित समुच्चय को स्वयं पर प्रतिचित्रित करने में आच्छादक का अर्थ एकैकी भी है, अतः संख्या 4! = 24।
समस्या बताएँ
📖 आसान व्याख्या
जब फलन किसी परिमित समुच्चय से उसी आकार के समुच्चय पर हो, तो आच्छादक और एकैकी साथ-साथ चलते हैं: केवल 4 इनपुट से सभी 4 आउटपुट तक पहुँचना हो, तो कोई दो इनपुट एक ही आउटपुट पर नहीं जा सकते। इसलिए {1, 2, 3, 4} से स्वयं पर हर आच्छादक फलन बस 4 अवयवों की एक व्यवस्था (क्रमचय) है।
अब विकल्प गिनें: 1 को 4 में से किसी भी अवयव पर, 2 को बचे 3 में से किसी पर, 3 को बचे 2 में से किसी पर और 4 को आख़िरी वाले पर भेजा जा सकता है। इससे 4 × 3 × 2 × 1 = 4! = 24 आच्छादक फलन मिलते हैं।
बाक़ी विकल्प क्यों नहीं?
A. 4 — 4 केवल समुच्चय का आकार (या एक अवयव के विकल्प) है, पूरे फलनों की संख्या नहीं।
B. 16 — 16 = 4², A × A में क्रमित युग्मों की संख्या है, आच्छादक फलनों की नहीं।
D. 256 — 256 = 4⁴ समुच्चय से स्वयं पर हर फलन गिनता है, उनमें वे भी जो कुछ आउटपुट छोड़ देते हैं; इनमें से ज़्यादातर आच्छादक नहीं हैं।
🎬 एनिमेशन से समझें
आच्छादक
{1, 2, 3, 4} का हर अवयव किसी न किसी इनपुट का प्रतिबिंब होना चाहिए।
4 इनपुटvs4 आउटपुट
दोनों ओर आकार बराबर है, इसलिए आच्छादक का अर्थ एकैकी भी है: कोई आउटपुट साझा नहीं हो सकता।
विकल्प गिनें
1 → 4 विकल्प
2 → 3 विकल्प
3 → 2 विकल्प
4 → 1 विकल्प
हर इनपुट वह आउटपुट लेता है जो पहले वाले इनपुट ने नहीं लिया।
4! = 24
4 × 3 × 2 × 1 = 24 आच्छादक फलन।
🧠 चित्र से समझें
अवयव 14 विकल्प
अवयव 23 विकल्प
अवयव 32 विकल्प
अवयव 41 विकल्प → 4 × 3 × 2 × 1 = 24
हर अवयव के विकल्प
💡 असल ज़िंदगी में
4 दोस्तों को 4 कुर्सियों पर, हर कुर्सी पर एक और कोई कुर्सी ख़ाली न रहे, 4! = 24 तरीक़ों से बिठाया जा सकता है — वही गिनती।
4 अलग-अलग इनाम 4 विद्यार्थियों को इस तरह बाँटना कि हर एक को ठीक एक इनाम मिले: 24 तरीक़े।
📌 मुख्य बिंदु
परिमित समुच्चय से स्वयं पर फलन तभी आच्छादक होता है जब वह एकैकी हो।
n अवयवों वाले समुच्चय से स्वयं पर एकैकी आच्छादक फलनों की संख्या n! है।
n अवयवों वाले समुच्चय से स्वयं पर कुल फलन nⁿ होते हैं; n = 4 के लिए 256।
{1, 2, 3, 4} के लिए: 4! = 24।
📐 सूत्र
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 2 × 1
n
समुच्चय के अवयवों की संख्या
n!
n क्रमगुणित — समुच्चय से स्वयं पर आच्छादक (एकैकी) फलनों की संख्या
किसी परिमित समुच्चय से स्वयं पर, या समान अवयव-संख्या वाले किसी समुच्चय पर फलनों के लिए लागू।
🧮 हल किया हुआ उदाहरण
प्रश्न: {a, b, c, d, e} से स्वयं पर कितने आच्छादक फलन हैं?
समुच्चय में n = 5 अवयव हैं, और परिमित समुच्चय से स्वयं पर फलन तभी आच्छादक है जब वह एकैकी हो।
इसलिए 5 अवयवों की व्यवस्थाएँ गिनें: n! = 5!।
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120।
उत्तर: 120 आच्छादक फलन
⚠️ आम ग़लतियाँ
✗ सभी फलन गिन लेना: 4⁴ = 256।
✓ आच्छादक फलन को हर आउटपुट लेना होता है; 4 अवयवों से 4 अवयवों पर केवल 4! = 24 व्यवस्थाएँ ऐसा करती हैं।
✗ 4 × 3 × 2 × 1 के बजाय 4 × 4 = 16 गुणा करना।
✓ एक बार कोई आउटपुट प्रयोग हो जाए तो वह दोबारा नहीं लिया जा सकता, इसलिए हर बार विकल्प एक कम होते हैं।
✗ परिमित समुच्चय से स्वयं पर फलन में आच्छादक और एकैकी को असंबंधित मानना।
✓ परिमित समुच्चय से स्वयं पर, आच्छादक, एकैकी और एकैकी-आच्छादी तीनों का एक ही अर्थ है।
